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蘇州科技學(xué)院碩士研究生入學(xué)考試

《高等代數(shù)》考試大綱

一、本大綱適用于報考蘇州科技學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。主要考核高等代數(shù)課程的基本概念、基本理論與基本計算方法。

二、考試內(nèi)容與要求

（一）多項式

內(nèi)容：

1、數(shù)域及一元多項式的概念和運算

2、多項式的整除性、帶余除法、最大公因式

3、多項式的因式分解、重因式、多項式函數(shù)及多項式的根

4、復(fù)數(shù)域，實數(shù)域和有理數(shù)域上多項式的因式分解

5、多元多項式及對稱多項式

要求：

理解一元多項式的有關(guān)概念，掌握多項式的運算，最大公因式和有理根的求法，互素，有無重因式的判別方法，能夠熟練運用一元多項式的基本概念、基本理論和基本方法證明多項式中的一些問題。了解多元多項式。

（二）行列式

內(nèi)容：

1、n階行列式的定義和性質(zhì)

2、行列式按行（列）展開的公式

3、拉普拉斯定理

4、克蘭姆法則

要求：

理解行列式的概念，行列式的性質(zhì)，掌握行列式的計算方法，克蘭姆法則的運用。

（三）線性方程組

內(nèi)容：

1、線性方程組的消元法

2、n維向量的概念、運算、性質(zhì)

3、向量組的線性相關(guān)性

4、矩陣的秩，線性方程組有解的判別法

5、線性方程組的解結(jié)構(gòu)

要求：

能熟練運用消元法解線性方程組，掌握矩陣的秩、向量組的秩及極大線性無關(guān)組的求法，掌握向量組的線性相關(guān)性的基本概念和結(jié)論，矩陣秩的相關(guān)概念和方法。能夠熟練利用向量組的有關(guān)知識分析討論關(guān)于線性方程組的一些問題并能正確使用有解判別法。

（四）矩陣

內(nèi)容：

1、矩陣的運算、性質(zhì)

2、可逆矩陣的概念、性質(zhì)，逆矩陣的求法

3、矩陣的分塊運算、應(yīng)用

4、初等矩陣與初等變換的關(guān)系，用初等變換求逆矩陣的方法

要求：

能熟練地進行矩陣的運算，熟悉矩陣乘積的行列式及秩的定理，掌握可逆矩陣的概念、性質(zhì)、初等變換和初等矩陣的關(guān)系。掌握矩陣分塊的應(yīng)用及用初等變換求逆矩陣的方法。

（五）二次型

內(nèi)容：

1、二次型的定義及表示，二次型的標準型

2、標準型的唯一性

3、正定二次型的定義及判定

要求：

熟悉二次型的幾種表示方法，知道二次型經(jīng)過非退化線性替換仍變?yōu)槎涡鸵约扒昂髢蓚€二次型的關(guān)系，掌握二次型化為標準型的方法，理解復(fù)二次型和實二次型的規(guī)范形的唯一性，掌握實二次型正定的判別方法

（六）線性空間

內(nèi)容：

1、線性空間的定義和性質(zhì)

2、向量組的線性相關(guān)性、基、維數(shù)和坐標，基變換和坐標變換

3、子空間、子空間的交與和、直和

4、線性空間的同構(gòu)

要求：

深刻理解線性空間的概念和性質(zhì)，初步了解公理化思想方法，理解基、維數(shù)、坐標和子空間的概念，掌握基、維數(shù)、坐標的求法，基變換公式和坐標變換公式，維數(shù)公式的應(yīng)用，和是直和的判別方法，理解同構(gòu)的概念及相關(guān)結(jié)論。

（七）線性變換

內(nèi)容：

1、線性變換的定義、性質(zhì)和運算

2、線性變換和矩陣的關(guān)系

3、特征值、特征向量

4、對角化問題

5、線性變換的值域、核、不變子空間

6、最小多項式

要求：

理解線性變換、相似、特征值與特征向量，值域與核以及不變子空間等概念，掌握線性變換與矩陣的關(guān)系，線性變換可對角的條件，不變子空間和線性變換矩陣化簡的關(guān)系，最小多項式的性質(zhì)及求法，最小多項式和矩陣可對角化的關(guān)系。

（八）λ-矩陣

內(nèi)容：

1、λ-矩陣的概念，標準形

2、不變因子，初等因子，矩陣相似的條件

3、若當(dāng)標準形理論推導(dǎo)

要求：

理解λ-矩陣的有關(guān)概念,能把λ-矩陣化為標準形，理解行列式因子，不變因子，初等因子的概念，弄清它們之間的關(guān)系，掌握矩陣相似的判別條件，會求行列式因子，不變因子，初等因子，若當(dāng)標準形。

（九）歐氏空間

內(nèi)容：

1、歐氏空間的定義及基本性質(zhì)

2、標準正交基和正交化方法

3、歐氏空間的同構(gòu)

4、正交變換與正交矩陣

5、對稱變換與對稱矩陣

6、最小二乘法，酉空間簡介

要求：

理解歐氏空間、正交變換、對稱變換及酉空間的概念，掌握標準正交基的求法，實對稱矩陣對角化方法，掌握正交變換，對稱變換的判別方法，了解最小二乘法及酉空間的相關(guān)結(jié)論。

三、主要參考書

《高等代數(shù)》（第三版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，2003年。

四、主要題型：

填空題，選擇題，計算題，解答題，證明題，綜合題。

大綱編制人：年月日

分管院領(lǐng)導(dǎo)：年月日

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