一、余數(shù)的概念

被除數(shù)減去商和除數(shù)的積，結(jié)果叫做余數(shù)。

被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)

正余數(shù)：大于0小于除數(shù)

負(fù)余數(shù)：正余數(shù)減去除數(shù)

二、同余概念

1.同余的概念：

兩個(gè)整數(shù)a和b，除以一個(gè)大于1的自然數(shù)m所得余數(shù)相同，就稱a和b關(guān)于m同余。

例：7÷3……1;25÷3……1;7和25關(guān)于3同余。

2.同余特性

余數(shù)的和決定和的余數(shù);

余數(shù)的積決定積的余數(shù);

余數(shù)的冪決定冪的余數(shù)。

三、應(yīng)用

1、日期問題

例1：甲乙丙，三個(gè)人去圖書館，甲每15天去一次，乙每16天去一次，丙每17天去一次，三個(gè)人在星期一的時(shí)候相遇了，問下次相遇是星期幾?

【解析】下次相遇需要經(jīng)歷的天數(shù)為15、16、17的最小公倍數(shù)15×16×17，一個(gè)星期7天，15×16×17除以7找余數(shù)，15÷7=2……1，16÷7=2……2，17÷7=2……3，則15×16×17除以7的余數(shù)為1×2×3=6，那再往后過6天，周一過六天就是周日。

2、解不定方程

例2：求解滿足3x+y=10的x、y，x、y均為正整數(shù)。

【解析】3x除以3整除，10除以3余數(shù)為1，則y除以3余數(shù)應(yīng)該為1。當(dāng)y=1時(shí)，x=3;當(dāng)y=4時(shí)，x=2;當(dāng)y=7時(shí)，x=1。

例3：今有桃95個(gè)，分給甲、乙兩個(gè)工作組的工人吃，甲組分到的桃有2/9是壞的，其他是好的，乙組分到的桃有3/16是壞的，其他是好的。甲、乙兩組分到的好桃共有( )個(gè)。

A.63 B.75 C.79 D.86

【解析】甲組桃為9的倍數(shù)，乙組桃為16的倍數(shù)，設(shè)甲、乙兩組桃分別為9x、16y(x、y均為正整數(shù))，則9x+16y=95。9x除以3整除，95除以3余數(shù)為2，則16y除以3余數(shù)為2，其中16除以3余數(shù)為1，所以y除以3余數(shù)為2。當(dāng)y=2時(shí)，x=7，即甲組有桃63個(gè)，乙組有32個(gè)，故所求為63×(1-2/9)+32×(1-3/16)=75，選擇B。