曲線(xiàn)本身的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

曲線(xiàn)F(x,y)=0為(中心或軸)對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)的充要條件是曲線(xiàn)F(x,y)=0上任意一點(diǎn)P(x,y)(關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心或?qū)ΨQ(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)替換曲線(xiàn)方程中相應(yīng)的坐標(biāo)后方程不變。

例如拋物線(xiàn)y2=-8x上任一點(diǎn)p(x,y)與x軸即y=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p′(x,-y)，其坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程y2=-8x，`y2=-8x關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。

例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲線(xiàn)：

A、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) B、關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)

C、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D、關(guān)于直線(xiàn)x-y=0對(duì)稱(chēng)

解：在方程中以-x換x，同時(shí)以-y換y得

(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變

`曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

函數(shù)圖象本身關(guān)于直線(xiàn)和點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題我們有如下幾個(gè)重要結(jié)論：

1、函數(shù)f(x)定義線(xiàn)為R，a為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R，均有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)。

這是因?yàn)閍+x和a-x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對(duì)稱(chēng)，且其函數(shù)值相等，說(shuō)明這兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)，由x的任意性可得結(jié)論。

例如對(duì)于f(x)若t∈R均有f(2+t)=f(2-t)則f(x)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)。若將條件改為f(1+t)=f(3-t)或 f(t)=f(4-t)結(jié)論又如何呢?第一式中令t=1+m則得f(2+m)=f(2-m);第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：

2、函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R均有f(a+x)=f(b-x)，則其圖象關(guān)于直線(xiàn)x= 對(duì)稱(chēng)。

我們?cè)賮?lái)探討以下問(wèn)題：若將條件改為f(2+t)=-f(2-t)結(jié)論又如何呢?試想如果2改成0的話(huà)得f(t)=-f(t)這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于(0,0)成中心對(duì)稱(chēng)，現(xiàn)在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我們猜想，圖象關(guān)于M(2，0)成中心對(duì)稱(chēng)。如圖，取點(diǎn) A(2+t，f(2+t))其關(guān)于M(2，0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(2-x，-f(2+x))

∵-f(2+X)=f(2-x)`A′的坐標(biāo)為(2-x，f(2-x))顯然在圖象上

`圖象關(guān)于M(2，0)成中心對(duì)稱(chēng)。

若將條件改為f(x)=-f(4-x)結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：

3、f(X)定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R均有f(a+x)=-f(b-x)，則其圖象關(guān)于點(diǎn)M(，0)成中心對(duì)稱(chēng)。