《高等數(shù)學》考試大綱

一、考試內容概述

函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學和常微分方程的基本概念、基本理論及其基本運算方法和基本運算能力；導數(shù)的幾何意義及其應用；微分中值定理(指羅爾中值定理和拉格朗日中值定理)及其應用；導數(shù)在求未定式極限及在求函數(shù)的極值、最值和作圖等方面中的應用；導數(shù)在經濟方面中的應用；積分在幾何和經濟方面中的應用。

二、考試形式

考試方式 閉卷筆試

考試滿分 150分(單科成績)

考試時間 120分鐘

三、試題難易程度分布

較易試題 約占50％

中等試題 約占30％

較難試題 約占20％

四、題型及題型分值分布

單項選擇題 約占32％

填空題 約占32％

計算題 約占42％

解答題 約占28％

應用題 約占16％

五、內容比例

函數(shù)、極限與連續(xù) 約占18％

導數(shù)與微分 約占22％

導數(shù)的應用 約占18％

不定積分 約占12％

定積分(含廣義積分)及其應用 約占20％

常微分方程初步 約占10％

六、參考教材

1．趙樹螈主編：《微積分》(第三版)，中國人民大學出版社 2008年版。

2．左艷芳、王躍主編：《高等應用數(shù)學》(第1版，上冊)，云南大學出版社2009年版。

3．同濟大學數(shù)學系編：《高等數(shù)學》(第六版，上冊) (普通高等教育“十一五”21國家級規(guī)劃教材)，高等教育出版社 2004年版。

七、考試內容及要求

第一部分 函數(shù)、極限與連續(xù)

[函數(shù)]

(一)考試內容

1．函數(shù)的概念：函數(shù)的定義；函數(shù)的表示法；分段函數(shù)。

2．函數(shù)的簡單性質：單調性；有界性；奇偶性；周期性。

3．反函數(shù)：反函數(shù)的定義；反函數(shù)的圖像。

4．函數(shù)的四則運算與復合運算。

5．基本初等函數(shù)：常量函數(shù)；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)

6．初等函數(shù)。

(二)考試要求

1．理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義、表達式及函數(shù)值；會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會作出簡單分段函數(shù)的圖像。

2．理解和掌握函數(shù)的單調性、有界性、奇偶性和周期性，并會判斷所給函數(shù)的類別。

3．了解函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)之間的關系

(定義域、值域和圖形)，并會求簡單函數(shù)的反函數(shù)。

4．理解和掌握函數(shù)的四則運算與復合運算，特別是熟練掌握復合函數(shù)的復合過程。

5．掌握基本初等函數(shù)的簡單性質及其圖像。

6．了解初等函數(shù)的概念。

7．會建立簡單實際問題的函數(shù)關系式。

[極限]

(一)考試內容

1．數(shù)列極限的概念：數(shù)列定義；數(shù)列極限的定義。 2．數(shù)列極限的性質：唯一性；有界性；四則運算準則；兩

邊夾準則；單調有界準則。

3．函數(shù)極限的概念：函數(shù)f(x)在點x。處的極限和左、右

極限的定義以及它們之間的關系；當x→∞、x→+∞和x→-∞

時函數(shù)f(x>極限的定義及它們之間的關系。

4．函數(shù)極限的定理：唯一性定理；四則運算定理。

5．無窮小量和無窮大量的概念：無窮小量的定義；無窮大量的定義；無窮小量的性質；無窮小量與無窮大量之間的關系；兩個無窮小量階的比較。

6．兩個重要極限：及它們的運用。

(二)考試要求

1．理解極限的概念(對極限定義中的“c—N”、“s—6”和“ε—M”等的描述不作要求)；了解函數(shù)在一點處極限存在的充分與必要條件。

2．了解極限的有關性質；熟練掌握極限的四則運算法則。

3．理解無窮小量和無窮大量的概念；掌握無窮小量的性質及無窮小量與無窮大量之間的關系；會進行無窮小量階的比較 (高階、低階、同階和等價)；會運用等價無窮小量代換求極限。

4．理解極限存在的兩個準NU(兩邊夾準NIj和單調有界準則)。

5．熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

6．掌握求極限的基本方法：利用基本極限、極限的運算法則、無窮小量的性質、兩個重要極限以及運用等價無窮小量代換求極限的方法。

[連續(xù)］

(一)考試內容

1．函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點處連續(xù)和左、右連續(xù)的定義以及它們之間的關系；函數(shù)在一點處連續(xù)的充分必要條件；函數(shù)在一個區(qū)間上連續(xù)的概念；函數(shù)的間斷點及其分類。

2．函數(shù)在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數(shù)的四則運算法則；復合函數(shù)的連續(xù)性；反函數(shù)的連續(xù)性。

3．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性定理；最大值和最小值定理；介值性定理(包括零點定理，即根的存在定理)。

4．初等函數(shù)的連續(xù)性。

2．會根據(jù)導數(shù)及其幾何意義求曲線上一點處的切線方程和法線方程。

3．熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)的求導方法(重點)；會求反函數(shù)的導數(shù)。

4．掌握隱函數(shù)求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法；會求分段函數(shù)的導數(shù)。

5．理解高階導數(shù)的概念；掌握求二階導數(shù)及簡單函數(shù)的n階導數(shù)的方法。

[微分]

(一)考試內容

1．微分：微分的定義；微分的幾何意義；可微、可導與連續(xù)三者之間的關系。

2．微分公式：df(x)=f'(x)dx或dy=y'dx。

3．微分法則與微分的基本公式：微分的四則運算法則；微分的基本公式(主要是基本初等函數(shù)的微分公式)；一階微分形式不變性。

(二)考試要求

1．理解函數(shù)的微分概念及其幾何意義；掌握微分法則；了解函數(shù)的可微、可導與連續(xù)三者之間的關系。

2．熟練掌握微分的四則運算法則和基本公式，并能熟練地計算函數(shù)的微分。

3．了解一階微分形式不變性。

第三部分 導數(shù)的應用

(一)考試內容

1．中值定理：羅爾(Rdle)中值定理；拉格朗日(La- Fange)中值定理。

2．洛必達(L’Hospital)法則。

3．函數(shù)的單調性、極值點、極值和最值。

4．曲線的凹凸性和拐點。

5．曲線的垂直漸近線與水平漸近線。

(二)考試要求

1．理解羅爾中值定理和拉格朗日中值定理的內容及其幾何意義；會用羅爾中值定理證明方程根的存在性；會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。

2，熟練掌握用洛必達法則求 型與 型未定式極限的方法 (其他未定式不作要求)。

3．理解函數(shù)的單調性和極值的概念，并熟練掌握利用一階導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法。

4。在掌握求函數(shù)極值點方法的基礎上，會求函數(shù)的最值或最值點以及會據(jù)此解簡單的應用問題。

5．理解曲線的凹凸性和拐點的概念，并掌握利用二階導數(shù)判斷曲線的凹凸性和求曲線拐點的方法。

6．會求曲線的垂直漸近線與水平漸近線。

7．會描繪簡單函數(shù)的圖形(包括垂直漸近線和水平漸近線)。

第四部分 不定積分

(一)考試內容

1．不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義；原函數(shù)存在定理。

2．不定積分的性質與公式：不定積分的基本性質；不定積分的基本積分公式。

3．換元積分法：第一換元積分法(湊微分法)；第二換元積分法(直接換元積分法)。

4．分部積分法。

5．一些簡單有理函數(shù)的積分。

(二)考試要求

1．理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關系；了解原函數(shù)存在定理。

2．熟練掌握不定積分的基本性質和基本積分公式。

3．熟練掌握不定積分的第一換元法；掌握第二換元法(限于簡單的根式代換和三角代換)。

4．熟練掌握不定積分的分部積分法。

5．會求簡單有理分式函數(shù)的不定積分。

第五部分 定積分(含廣義積分)及其應用

[定積分(含廣義積分)]

(一)考試內容

1．定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義；可積條件。

2．定積分的性質。

3．定積分的計算：變上限的定積分；牛頓一萊布尼茨 (Newton—Leibniz)公式；定積分的換元積分法；定積分的分部積分法。

4．廣義積分：無窮區(qū)間的廣義積分；無界函數(shù)的廣義積分 (即瑕積分)。

(二)考試要求

1．理解定積分的概念；熟練掌握定積分的幾何意義；了解可積的條件。

2．掌握定積分的基本性質。

3．理解變上限定積分是變上限的函數(shù)；掌握對變上限的定積分求導數(shù)的方法。

4．熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式。

5．熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法。

6．理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，并掌握其計算方法和記住廣義積分dx收斂的條件。

7．了解無界函數(shù)廣義積分的概念，并記住廣義積分(瑕積分)dx收斂的條件。

8．掌握在直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積；會用定積分解決一些簡單的經濟應用問題。

[定積分的應用]

(一)考試內容

1．面積和體積：平面圖形的面積；旋轉體的體積。

2．經濟應用：定積分在經濟中的簡單應用。

(二)考試要求

1．掌握在直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積。

2．會用定積分解決一些簡單的經濟應用問題(如求經濟總量、總收益、總利潤等)。

第六部分 常微分方程初步

[一階微分方程]

(一)考試內容

1．微分方程的概念：微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2．可分離變量的微分方程。

3．一階線性微分方程：一階線性齊次微分方程；一階線性非齊次微分方程。

(二)考試要求

1．理解微分方程的定義；理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2．掌握可分離變量的微分方程的解法。

3．熟練掌握一階線性微分方程的解法(主要是公式解法)。

4．會應用微分方程的知識解決一些簡單的實際問題。

[可降階微分方程]

(一)考試內容

1．y(n)=f(x)型的方程。

2．Y''=f(x，y')型的方程。

(二)考試要求

1．會用降階法解丁”’y(n)=f(x)型的方程。

2．會用降階法解y''=f(x，y')型的方程。

[二階線性微分方程]

(一)考試內容

1．二階線性微分方程解的結構。

2．二階線性常系數(shù)齊次線性微分方程。

3．二階線性常系數(shù)非齊次線性微分方程。

(二)考試要求

1．了解二階線性微分方程解的結構。

2．熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

3．了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法[自由項限定為，f(x)=Pn(x)eax，其中Pn(X)為x的n次多項式，a為實常數(shù)]。

4．會應用微分方程的知識解決一些簡單的實際問題。