知識點(diǎn)總結(jié)

一.分式方程、無理方程的相關(guān)概念：

1.分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2.無理方程：根號內(nèi)含有未知數(shù)的方程。(無理方程又叫根式方程)

3.有理方程：整式方程與分式方程的統(tǒng)稱。

二.分式方程與無理方程的解法 ：

1.去分母法：

用去分母法解分式方程的一般步驟是：

①在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程;

②解這個整式方程;

③把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母不為零的根是原方程的根，使最簡公分母為零的根是增根，必須舍去。

在上述步驟中，去分母是關(guān)鍵，驗(yàn)根只需代入最簡公分母。

2.換元法：

用換元法解分式方程的一般步驟是：

②換元：換元的目的就是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，要注意整體代換的思想;

③三解：解這個分式方程，將得出來的解代入換的元中再求解;

④四驗(yàn)：把求出來的解代入各分式的最簡公分母檢驗(yàn)，若結(jié)果是零，則是原方程的增根，必須舍去;若使最簡公分母不為零，則是原方程的根。

解無理方程也大多利用換元法，換元的目的是將無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程。

三.增根問題：

1.增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的增根。

2.驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根。

3.增根的特點(diǎn)：增根是原分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的根，增根必定使各分式的最簡公分母為0。

解分式方程的思想就是轉(zhuǎn)化，即把分式方程整式方程。

常見考法

(1)考查分式方程的概念、分式方程解和增根的機(jī)會比較少，通常與其他知識綜合起來命題，題型以選擇、填空為主;

(2)分式方程的解法，是段考、中考考查的重點(diǎn)。

誤區(qū)提醒

(1)去分母時(shí)漏乘整數(shù)項(xiàng);

(2)去分母時(shí)弄錯符號;

(3)換元出錯;

(4)忘記驗(yàn)根。

【典型例題】