知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、勾股定理：

1.勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

2.勾股定理的證明：

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

(1)圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變;

(2)根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理。

4.勾股定理的適用范圍：

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。

二、勾股定理的逆定理

1.逆定理的內(nèi)容：如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊。

說明：(1)勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形;

(2)定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時(shí)的斜邊是b.

2.利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的一般步驟：

(1)確定最大邊;

(2)算出最大邊的平方與另兩邊的平方和;

(3)比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形。

三、勾股數(shù)

能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù).

四、一個(gè)重要結(jié)論：

由直角三角形三邊為邊長(zhǎng)所構(gòu)成的三個(gè)正方形滿足“兩個(gè)較小面積和等于較大面積”。

五、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

解決圓柱側(cè)面兩點(diǎn)間的距離問題、航海問題，折疊問題、梯子下滑問題等，常直接間接運(yùn)用勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。

常見考法

(1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)應(yīng)用勾股定理建立方程;(3)實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理及其逆定理。

誤區(qū)提醒

(1)忽略勾股定理的適用范圍;(2)誤以為直角三角形中的一定是斜邊。

【典型例題】(2010 湖北孝感)

[問題情境]

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”(勾股定理)帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言。

[定理表述]

請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理(用文字及符號(hào)語言敘述);

[嘗試證明]

以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形(如圖2)，請(qǐng)你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理;

[知識(shí)拓展]