一、考查目標

《實變函數(shù)、復變函數(shù)》是我校數(shù)學與計算機科學學院招收全日制碩士研究生而設(shè)置的具有選拔性質(zhì)的復試考試科目，其目的是考察學生是否具備本學科碩士研究生學習所要求的水平，為我校數(shù)學與計算機科學學院擇優(yōu)選拔碩士研究生提供依據(jù)。具體考查目標如下：

1)要求考生比較系統(tǒng)地理解實變函數(shù)與復變函數(shù)的基本概念和基本理論;

2)掌握實變函數(shù)與復變函數(shù)的基本思想和方法;

3)要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

(一)試卷成績及考試時間

本試卷滿分為100分?？荚嚂r間為180分鐘。

(二)答題方式

閉卷，筆試。

(三)試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

實變函數(shù)約50%

復變函數(shù)約50%

(四)試卷題型結(jié)構(gòu)

計算、證明

(五)參考書目

[1]周民強編《實變函數(shù)》，北京大學出版社，2008年第2版.

[2]程其襄等編《實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》，高等教育出版社，2003年第2版.

[3]鐘玉泉編《復變函數(shù)論》，高等教育出版社，2004年第3版.

三、考查范圍

1實變函數(shù)

(1)集合

映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質(zhì);對等及其性質(zhì);基數(shù)與基數(shù)的比較，伯恩斯坦定理;可數(shù)集的定義及等價條件，可列集及其性質(zhì);上限集、下限集的定義及判斷證明。

(2)點集

鄰域、內(nèi)點、聚點、開集、閉集等基本概念;開集、閉集的性質(zhì);Bolzano-Weierstarss定理，Borel有限覆蓋定理;直線上開集的構(gòu)造;Cantor集的構(gòu)造及其性質(zhì)。

(3)測度論

勒貝格外測度的定義及主要性質(zhì);勒貝格可測集的定義及其運算;勒貝格測度的可列可加性以及單調(diào)可測集列極限的測度;勒貝格可測集與開集、閉集、型集與型集之間的關(guān)系。

(4)可測函數(shù)

點集上的連續(xù)函數(shù)、函數(shù)列的上極限與下極限、“幾乎處處”等

概念;可測函數(shù)的定義及其在代數(shù)運算與極限運算下的封閉性;可測函數(shù)可表為簡單函數(shù)列的極限;可測函數(shù)列的一致收斂、幾乎處處收斂及依測度收斂的概念及它們之間的相互關(guān)系;葉果洛夫定理、黎斯定理、魯金定理。

(5)積分論

黎曼積分定義，達布定理;勒貝格積分的定義及其性質(zhì)，勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系;勒貝格控制收斂定理、勒貝格逐項積分定理、列維定理、法都引理和富比尼定理。

2復變函數(shù)

(1)復數(shù)與復變函數(shù)

復數(shù)的幾種表示法，復數(shù)的運算及其三角不等式的應(yīng)用;復平面，復平面的點集，區(qū)域;復變函數(shù)的概念及其性質(zhì)。

(2)解析函數(shù)

復變函數(shù)可導與解析的概念，解析函數(shù)的C-R條件及C-R條件的應(yīng)用;指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的分支和導數(shù)，對數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)，復指數(shù)，三角函數(shù)，雙曲函數(shù)，反三角函數(shù)和雙曲函數(shù)。

(3)復變函數(shù)的積分

復積分的概念及其基本性質(zhì);柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導數(shù)公式，及其他們的作用;劉維爾定理、莫勒拉定理和代數(shù)基本定理;函數(shù)積分的計算。

(4)復變函數(shù)的級數(shù)

復數(shù)序列的收斂，復級數(shù)的收斂，泰勒級數(shù)，羅朗級數(shù)，復冪級數(shù)的絕對一致收斂;復冪級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性，冪級數(shù)的積分和微分，唯一性定理，冪級數(shù)的乘法和除法運算;函數(shù)展成羅朗級數(shù)的方法。

(5)留數(shù)和奇點

留數(shù)的概念，柯西的留數(shù)基本定理，孤立奇點的三種類型;極點的留數(shù)，解析函數(shù)的零點，零點與極點，孤立點附近的函數(shù)的屬性;留數(shù)的應(yīng)用，留數(shù)在計算某些實積分中的應(yīng)用，輻角定理及儒歇定理。

四、樣題

(略)